区间套定理是什么意思(闭区间套是什么意思)

区间套定理是数学中的一个重要定理，它是一种基本分析工具，在实分析、复分析、拓扑学等多个数学分支领域中都有广泛应用。该定理给出了一种精确的 *** 来确定数列中的极限值，特别适用于求解无穷级数、积分、微分方程等问题。在应用中，区间套定理常用于证明一些基本定理，如Brouwer不动点定理、Banach收敛定理等，具有重要的理论和实际价值。本文将对区间套定理的定义、基本性质和典型应用进行详细介绍。

在高等数学，或说是数学分析的领域中，有一个区间套定理，一般认为，只有闭区间套才符合这个定理，那是《老黄学高数》系列视频第212 讲(定义)和第213讲(定理)所分享的内容。但是最近有一些学者开始探究开区间套定理，认为开区间套，同样符合区间套定理。老黄在证明的过程中，无意间发现了数学微观世界一个奇妙的现象，与诸君共赏。

设{(an,bn)}是一个严格开区间套,即a1<a2<…<an<…<bn<…b2<b1, 且(lim)┬(n→∞)(bn-an)=0. 证明：存在唯一一点ξ,有an<ξ<bn, n=1,2,…

解读：区间套可以看作一系列区间构成的“列”，类似于数列。它们的左端点构成数列{an}, 右端点构成数列{bn}. 这里之所以取严格开区间套，只是为了避免理解上的混乱。比如闭区间套中a1≤a2≤…≤an≤…≤bn≤…b2≤b1，就容易让人误解所有的端点可以相等。事实上，有部分相等，只要不全部相等，且恒有an<bn就可以了。同样的，这里的不等式也不必绝对严格，只要几乎全部严格，即相等的数量关系是有限的，且an<bn恒成立就可以了。如果这些无法全部理解透彻，你就无法真正把握区间套的定义和定理。

开区间套定义的另一个条件也是当n趋于无穷时，开区间的长度趋于0，表示为题干中bn-an的极限等于0的形式. 要证明存在唯一的一个点ξ，属于开区间套的所有开区间元素。即开区间套同样可以确定一个点，就是适用区间套定理。我们可以利用闭区间套定理来证明开区间套定理。

证：作闭区间列{[xn,yn]}, xn=(an+a_(n+1))/2, yn=(bn+b_(n+1))/2, n=1,2,…【构造一个辅助闭区间列，使闭区间的每个右端点，都在对应的在开区间套连续两个右端点的中点上，每个左端点也在开区间套的连续两个左端点的中点上】

∵an<xn<an+1, bn+1<yn<bn, ∴有(an+1,bn+1)?[xn,yn]?(an,bn)，【那么xn在an和a_(n+1)之间，yn在b_(n+1)和bn之间，所以每一个闭区间都被对应开区间真包含，又真包含下一个开区间】

从而有[xn+1,yn+1]?[xn,yn], n=1,2,…【由不等量关系的递推，就有除了第一个闭区间之外，每个闭区间都真包含于上一个闭区间。】

又b_(n+1)-a_(n+1)<yn-xn<bn-an，∴ lim(n→∞)(yn-xn)=lim(n→∞)(bn-an)=0,【而闭区间的长度小于对应开区间的长度，又大于下一个开区间的长度，因此，两个开区间对它们中间的闭区间形成夹逼之势，由迫敛性，就可以知道，当n趋于无穷大时，闭区间的长度也趋于0】

∴{[xn,yn]}为闭区间套，由区间套定理，存在唯一一点ξ，【所以闭区间列{[xn,yn]}形成一个闭区间套。由闭区间套定理就可以知道，存在唯一的一点ξ】

使得ξ∈[xn,yn]?(an,bn), n=1,2,…【使得ξ属于所有闭区间，同时也就属于所有开区间。这里有一个扯不清的问题，如果你说ξ可能不属于(a_(n+1), b_(n+1))，那老黄问你，它属于[x_(n+1), x_(n+1)]吗？属于吧，这是闭区间套定理决定的。那[x_(n+1), x_(n+1)]不就包含于(a_(n+1), b_(n+1))吗？那你还说ξ可能不属于(a_(n+1), b_(n+1))吗？就这样没完没了地扯下去，杠下去，反正你永远扯不赢，也杠不赢阿基米德他老人家的。接下来证明ξ在开区间套中的唯一性】

设数ξ’∈(an,bn), n=1,2,…，则|ξ-ξ’|≤bn-an, n=1,2,…，

ξ-ξ’|≤lim(n→∞)(bn-an)=0，

∴ξ’=ξ. 从而开区间套定理得证。

从证明的过程我们可以看到，哪怕开区间套不严格，比如左端点数列是一个常数列，也不会使任何一步推理不成立。当然，证明过程有一些微调还是必要的。所以今天我们可以对任何区间套运用区间套定理，不必纠结它是开区间套还是闭区间套， 也不必纠结它是否严格，甚至是开区间和闭区间混合，只要它形成区间套，就会有区间套定理。

另外，我们还可以推断出，在微观的数学世界里，极小的区间上，不可观察的开区间和闭区间其实并没有任何本质上的区别，只是在宏观世界上，在可观察的开区间和闭区间，两者才会有明显的不同。你能理解吗？