一、康托尔的数学成就是什么？
伽利略曾作过这样的证明：DE是△ABC的中位线，DE=1/2BC，通过A引任意一条直线，必然有DE上的P′和BC上P一一对应，因此，DE所包含的点与BC所含的点“一样多”，导致结论：DE=BC，1=2。
这是一个数学悖论。
由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论”)，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度。
1874—1876年期间，不到30岁的年轻德国数学家康托尔(1845—1918年)向神秘的无穷宣战。
他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的一点一一对应，也能和空间中的点一一对应。
这样看起来，1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”!后来几年，康托尔对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论。
康托尔的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂。
有人说，康托尔的集合论是一种“疾病”，康托尔的概念是“雾中之雾”，甚至说康托尔是“疯子”。
来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院。
真金不怕火炼，康托尔的思想终于大放光彩。
1897年举行第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认。
伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”。
可是这时康托尔仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦。
1918年1月6日，康托尔在一家精神病院去世。
康托尔生于俄国彼得堡一个丹麦犹太血统的富商家庭，10岁随家迁居德国，自幼对数学有浓厚兴趣。
23岁获博士学们，以后一直从事数学教学研究。
他所创立的集合论已被公认为全部数学的基础。
二、康托尔悖论的理论影响
据康托尔集合理论，任何性质都可以决定一个集合，这样所有的集合又可以组成一个集合，即“所有集合的集合”（大全集）。
显然，此集合应该是最大的集合了，因此其基数也应是最大的，然而其子集的集合的基数按“康托尔定理”又必然是更大租局袜的，那么，“所有集合的集合”就不成其为“所有集合的集合”，这就是“康托尔悖论”。
对这一悖论，康托尔并没有感到害怕，因为通过反证法恰恰证明没有“所有集合的集合”或者说“最大的集合”，当然也没有“最大的基数”。
悖论的出现这时并没有引起多大的震动，人们觉得这似乎仅仅牵涉到集合理论的一些技弊激术问题，只要作适当的修正，集合论仍然会成为数学大厦的基础，康托尔只是利用悖论进行反证，而并没有细究悖论的来源及意义，他没有意识到这种反证之所以可能，是因为他的理论中所使用的基本概念“集合”、“属于”、“元素”是包含着矛盾的。
1901年罗素发表的“罗素悖论”则“剥掉了数学技术性的细节”，使其中的矛盾赤裸裸地暴露出来了！悖论（编辑：奇东）《古今数学思想》书中(第四册289页)指出：二十世纪数学中最为深入的活动，使关于基础的探讨，强加于数学家的问题，腊慧以及他们自愿承担的问题，不仅牵涉到数学的本质，也牵涉到演绎数学的正确性。
在这世纪的前期，有几种活动汇合起来把基础问题引到一个高潮，首先是矛盾的发现，委婉地被称为悖论，在集合论中尤为突出。
……。
三、康托尔悖论的人物生平
1874年，康托尔开始引进他的令人感到神秘莫测的无穷大概念。
伟大的伽利略曾经在先前考虑过无穷大，但康托尔是第一个建立起完整的逻辑结构的人，在这种结构中，他提出一个超限数的序列，可以说，这就是无穷大的级。
从能够加以描述的集合来说，无穷大的级并不很多，全体整数序列相当于它的第一级，所有实数的集合较高一级，相当于第二级，而所有函数的集合又较高一级，相当于第三级，但到此我们就必须止步了。
康托尔的观点并未能被同时代的所有人接受，特别是康托尔的老师克朗涅克尔（L.Kronecker）就猛烈攻击康托尔的研究工作，同时出于专业嫉恨，他还竭力阻挠康托尔的提升，不让其在柏林大学获得一个职位。
长期的过度疲劳和激烈的争吵论战，使得康托尔的精神终于在1884年崩溃，1918年1月6日，他在哈尔精神病医院逝世。
四、康托尔为什么会疯？
康托尔天性神经过敏，容易激动，带有极强的感情色彩，把别人的批评看得过重，因此对于反对意见难以从学术的角度去应付。
“克罗内克或许由于康托尔的悲剧受到了过分严厉的指责。
他的攻击只是许多起作用的原因中的一个。
没有得到承认，使这个相信他朝着无限的合理理论迈出了第一步—和最后一步—的人产生了怨恨，沮丧使自己患了忧郁症和丧失理性。
”任何一种新的思想都可能遭到别人的怀疑和反对，这些怀疑和反对并非都是无理取闹，对澄清新思想那些模糊不清的概念起着重要作用。
克罗内尔在学生面前谩骂康托尔是不光彩的行为，但他也有表现起绅士风度和学者的时候，即通过学术文章客观地解决争论。
五、康托尔是哪国人？
康托尔是德国数学家,数学集合论的创始者,1845年3月3日生于圣彼得堡,11岁时移居德国。
他很小的时候就表现出了极高的科学天赋,并且选择了数学作为自己的专业。
1867年获得了柏林大学的哲学博士学位,1869年通过了哈雷大学讲师资格考试,成为该校的讲师,1879年升任教授。
六、康托尔集的康托三分集
取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，再将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，……，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔点集，记为P。
称为康托尔点集的极限图形长度趋于0，线段数目趋于无穷，实际上相当于一个点集。
操作n次后边长r=(1/3)^n，边数N(r)=2^n，根据公式D=lnN(r)/ln(1/r),D=ln2/ln3=0.631。
所以康托尔点集分数维是0.631。
